Opérations sur les puissances

Elévation à la puissance

On note l’élévation à la puissance n d’une expression x sous la forme x^n  (x à la puissance n)
x^1=x; \qquad x^2=x\times x; \qquad x^3=x\times x\times x; \qquad ...

Multiplication

Prenons l’exemple suivant :
x^3\times x^2, en développant, cette expression s’écrit : x \times x \times x \quad \times \quad x\times x\quad=x^5
x^3\times x^2=x^5=x^{3+2}

La multiplication est une addition des puissances
\color{red}x^n\times x^m=x^{n+m}  

Division

Prenons l’exemple suivant :
\displaystyle \frac{x^3}{x^2}, en développant, cette expression s’écrit : \displaystyle \frac{x\times x\times x}{x \times x}, après simplification, on obtient \displaystyle \frac{x^3}{x^2}=x
\displaystyle \frac{x^3}{x^2}= x^1=x^{3-2}

La division est une soustraction des puissances
\displaystyle \color{red}\frac{x^n}{x^m}=x^{n-m}

Puissances négatives

Prenons l’exemple suivant :
\displaystyle \frac{x^2}{x^3}, en développant, cette expression s’écrit : \displaystyle \frac{x\times x}{x \times x \times x}, après simplification, on obtient \displaystyle \frac{x^2}{x^3}=\frac{1}{x}
\displaystyle \frac{x^2}{x^3}= \frac{1}{x} =x^{-1}

On peut donc écrire :
\displaystyle \frac{1}{x^1}=x^{-1}; \quad \frac{1}{x^2} =x^{-2}; \quad \frac{1}{x^3}=x^{-3} \quad ...

Les puissances négatives
\displaystyle \color{red}\frac{1}{x^n}=x^{-n}

Puissance nulle

Prenons l’exemple suivant :
\displaystyle \frac{x^2}{x^2}, en développant, cette expression s’écrit : \displaystyle \frac{x\times x}{x \times x}, après simplification, on obtient \displaystyle \frac{x^2}{x^2}= 1

\displaystyle \frac{x^2}{x^2}= x^2 .\: x^{-2}=x^{2-2} =x^{0} =1

Puissance nulle
\displaystyle \color{red}x^0= 1

Puissances fractionnaires

Prenons l’exemple suivant :
Soit r=\sqrt{x} également noté r=\sqrt[2]{x}
r est un nombre réel positif appelé racine carrée de x.
Le nombre r est l’unique nombre réel tel que r \times r = r^2 = x
\sqrt{x} \times \sqrt{x} =x^1

Nous allons en déduire l’expression en puissance de r=\sqrt[2]{x}
On cherche n tel que x^n \times x^n = x^1
La multiplication des puissances implique
n+n=1 soit \:2n = 1 donc \: n=\frac{1}{2}
La notation \sqrt[2]{x} peut donc s’écrire \: x^{\frac{1}{2}}

De même, on note r=\sqrt[3]{x} le nombre réel appelé racine cubique de x
Le nombre r est l’unique nombre réel tel que r \times r \times r= r^3 = x
\sqrt[3]{x} \times \sqrt[3]{x} \times \sqrt[3]{x} =x^1

Nous allons en déduire l’expression en puissance de r=\sqrt[3]{x}
On cherche n tel que x^n \times x^n \times x^n = x^1
La multiplication des puissances implique
n+n+n=1 soit \:3n = 1 donc \: n=\frac{1}{3}
La notation \sqrt[3]{x} peut donc s’écrire \: x^{\frac{1}{3}}

En généralisant

Puissances fractionnaires
\displaystyle \color{red}\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}

Puissances fractionnaires négatives

Nous pouvons combiner 2 notions étudiées précédemment
Prenons l’exemple suivant :
\displaystyle \frac{1}{\sqrt[2]{x}}
En utilisant les puissances fractionnaires, nous pouvons écrire cette expression sous la forme :
\displaystyle \frac{1}{{x}^\frac{1}{2}}
En utilisant les puissances négatives, cette expression s’écrit également :
\displaystyle x^{-\frac{1}{2}}

Puissances fractionnaires négatives
\displaystyle \color{red} \frac{1}{\sqrt[n]{x}} = x^{-\frac{1}{n}}

Puissance d’une puissance

Prenons l’exemple suivant
(x^2)^3 que l’on peut noter x{{^2}^3} ce qui peut se traduire par x au carré au cube (ou encore cube de x au carré)

En développant, cette expression peut s’écrire
x^2 \times x^2 \times x^2 = x \times x \;\times\; x \times x \;\times\; x \times x = x^6
(x^2)^3 = x^6 = x^{2\times 3}

La puissance d’une puissance est une multiplication des puissances
\displaystyle \color{red} (x^n)^m = x^{n \times m}

Application à l’élévation au carré de la fonction racine carré

Soit l’expression {(\sqrt[2]{x})}^2 nous pouvons l’écrire \displaystyle{(x^{\frac{1}{2} } )}^2 soit encore \displaystyle x^{\frac{1}{2} \times 2 } = x^1 = x
On retrouve que le carré de la racine carrée de x est égal à x

Synthèse

Puissances entières positives ou nulle
\color{red} \qquad x^0 = 1
\color{red} \qquad x^1 = x
\color{red} \qquad x^2 = x \times x
\color{red} \qquad x^3 = x \times x \times x

Puissances entières négatives
\displaystyle \color{red} \qquad x^{-1} = \frac{1}{x^1}= \frac{1}{x}
\displaystyle \color{red} \qquad x^{-n} =\quad \frac{1}{x^n}

Puissances fractionnaires positives
\displaystyle \color{red} \qquad x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{x}
\displaystyle \color{red} \qquad x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}

Puissances fractionnaires négatives
\displaystyle \color{red} \qquad x^{-\frac{1}{2}}= \frac{1}{\sqrt[2]{x}}
\displaystyle \color{red} \qquad x^{-\frac{1}{n}}= \quad \frac{1}{\sqrt[n]{x}}

Multiplication de la fonction puissance
\displaystyle \color{red} \qquad x^n \times x^m = x^{n+m}

Division de la fonction puissance
\displaystyle \color{red} \qquad \frac{x^n}{x^m} = x^{n-m}

Elévation à la puissance de la fonction puissance
\displaystyle \color{red} \qquad {(x^n)}^m = x^{n \times m}

Exercice puissant

Ce formalisme permet par exemple d’écrire
\displaystyle {( \sqrt[2]{a} )}^3 = {(a^{\frac{1}{2}} )}^3 = a^{\frac{3}{2}}

On demande de simplifier l’écriture de l’expression :
\displaystyle { ( \frac{1}{\sqrt[5]{x^3}} ) }^5

Méthode appliquée dite du « bon élève »
\displaystyle { ( \frac{1}{\sqrt[5]{x^3}} ) }^5 = {( \frac{1}{x^{3 \times \frac{1}{5}}} )}^5 = {( \frac{1}{x^{\frac{3}{5}}} )}^5 = {( x^{- \frac{3}{5}} )}^5 = x^{- \frac{3}{5} \times 5} = x^{-3} = \frac{1}{x^3}

Méthode maline dite du « très bon élève » : On pose a = x^3
\displaystyle { ( \frac{1}{\sqrt[5]{x^3}} ) }^5 = { ( \frac{1}{\sqrt[5]{a}} ) }^5 = {( \frac{1}{a^{\frac{1}{5}}} )}^5 = a^{- \frac{1}{5} \times 5} = a^{-1}
On remplace a par sa valeur \displaystyle { ( x^3) }^{-1} = x^{-3} = \frac{1}{x^3}

Méthode très maline dite de l’élève « œil de lynx » : On pose a = x^3 et on remarque que l’expression est de la forme
\displaystyle { ( \frac{1}{\sqrt[5]{a}} ) }^5 = \frac{1^5}{({\sqrt[5]{a}})^5} = \frac{1^5}{a^{\frac{1}{5}\times 5}} = \frac{1}{a} = \frac{1}{x^3}

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