René Descartes (1596-1650) philosophe et mathématicien 

Discours de la méthode (1637)

Le Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciences
parut en 1637, en français. Il était accompagné de trois traités (La Dioptrique, Les Météores et La Géométrie).
Descartes avait renoncé à publier son Traité du Monde, dans lequel il admettait la rotation terrestre, après la condamnation de Galilée (1633)

Principales règles de La Méthode

« Je crus que j’aurais assez des quatre (préceptes) suivants, pourvu que je prisse une ferme et constante résolution de ne manquer pas une seule fois à les observer.
Le premier était de ne recevoir jamais aucune chose pour vraie que je ne la connusse évidemment être telle ; c’est-à-dire, d’éviter soigneusement la précipitation et la prévention, et de ne comprendre rien de plus en mes jugements que ce qui se présenterait si clairement et si distinctement à mon esprit, que je n’eusse aucune occasion de le mettre en doute.
Le second, de diviser chacune des difficultés que j’examinerais, en autant de parcelles qu’il se pourrait, et qu’il serait requis pour les mieux résoudre.
Le troisième, de conduire par ordre mes pensées, en commençant par les objets les plus simples et les plus aisés à connaître, pour monter peu à peu comme par degrés jusqu’à la connaissance des plus composés, et supposant même de l’ordre entre ceux qui ne se précèdent point naturellement les uns les autres.
Et le dernier, de faire partout des dénombrements si entiers et des revues si générales, que je fusse assuré de ne rien omettre. »

« Gogito Ergo Sum »

Descartes cherche un fondement sûr pour bâtir la connaissance, un point fixe à partir duquel fonder le savoir et accéder aux vérités. Pour cela, il propose deux méthodes pour y parvenir :

La méthode du doute 

Descartes décide de volontairement mettre en doute toutes ses connaissances et opinions. Que reste-t-il de cette mise hors circuit du monde et de ses objets ? Que c’est lui, sujet, qui doute. Or, pour douter, il faut penser. « Donc, si je doute, je pense, et si je pense, je suis ».
Le doute, qui au départ mettait tout en question, se renverse et devient source de certitude. La dialectique de Descartes crée le « Cogito »

La méthode du « malin génie »

Descartes fait l’hypothèse qu’une force obscure le trompe, en lui faisant passer pour vraies des représentations fausses.
Mais là aussi, si on peut me tromper, si mes sens peuvent être source d’illusions, il reste que j’ai le pouvoir de suspendre mon jugement.
Et là aussi, cette suspension est une action de la pensée qui vient prouver mon existence irréfutable.

Naissance du cogito

Dans les deux méthodes, actives ou passives, la certitude du « cogito » est acquise.
Le Sujet, sûr de son existence, peut agir en tant que terre natale de la Vérité. Cette assertion, aujourd’hui considérée comme allant de soi, a révolutionné la philosophie et agi comme la prémisse de la philosophie moderne, comprise comme la mise au centre du Sujet.
Kant, Spinoza, ou encore Sartre et Husserl, ne remettront jamais en question cet “acquis philosophique”, ce « cogito ergo sum ».

Equations cartésiennes

On doit à Descartes la méthode qui consiste à remplacer un problème de géométrie par un problème numérique à l’aide d’équations. Ces équations sont dites « équations cartésiennes ».

Equation « cartésienne » d’une droite

Une équation cartésienne permet de décrire toutes les droites  du plan.
Elle est toujours de la forme suivante:

\textcolor{red}{\mathcal {D}:} \textcolor{black}{ \mathbf{ay + bx +c = 0}}
{ a, b, c } sont des constantes réelles.
{ a, b } ne peuvent pas être nulles en même temps (on obtiendrait c = 0 ).

Equation « réduite » d’une droite cartésienne

La forme dite « réduite » se déduit de la forme « cartésienne »

On écrit l’équation : \mathbf{ay + bx +c = 0}
Sous la forme : \mathbf{ay = - bx - c }
d’où : \displaystyle\mathbf{ y= - \frac{b}{a}x - \frac{c}{a} }

\textcolor{red}{\mathcal {D}:} \textcolor{black}{ \mathbf{y = a'x + b'}}
\displaystyle a\neq{0} \: ; \: a'=-\frac{b}{a}\: ; \: b'=-\frac{c}{a}

Ensemble des droites

L’équation « cartésienne »  \textcolor{red}{\mathcal {D}:} \textcolor{black}{ \mathbf{ay + bx +c = 0}}  permet de décrire l’ensemble des droites :

Exemple

\textcolor{red}{\mathcal {D}:} \textcolor{black}{ \mathbf{2y -3x +14 = 0 \qquad \{a=2, b=-3, c=14\} } }

Composantes de l’équation cartésienne d’une droite

Les constantes { a, b, c } pour la forme cartésienne ou { a’, b’ } pour la forme réduite, sont les valeurs nécessaires et suffisantes pour déterminer la position d’une droite dans le plan cartésien.
Nous allons étudier les notions de pente d’une droite, de droites parallèles et de droites perpendiculaire et déterminer la valeur des constantes dans ces différents cas.  

Pente d’une droite

Graphiquement une droite est une fonction dont l’inclinaison est constante en tout point.
La pente mesure l’inclinaison de la droite.
Elle caractérise la variation de la valeur y quand x augmente.
La pente est positive lorsque y augmente quand x augmente.
La pente est négative lorsque y diminue quand x augmente.

Le point 1 de coordonnées \displaystyle (x_1,y_1) et le point 2 de coordonnées \displaystyle (x_2,y_2) sont situés sur la droite \textcolor{red}{\mathcal {D1}}

La pente de la droite \textcolor{red}{\mathcal {D1}} est définie par le rapport \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}
La pente de la doite \textcolor{red}{\mathcal {D1}} est positive

Le point 3 de coordonnées \displaystyle (x_3,y_3) et le point 4 de coordonnées \displaystyle (x_4,y_4) sont situés sur la droite \textcolor{red}{\mathcal {D2}}

La pente de la droite \textcolor{red}{\mathcal {D2}} est définie par le rapport \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_4-y_3}{x_4-x_3} = \frac{y_3-y_4}{x_3-x_4}
La pente de la doite \textcolor{red}{\mathcal {D2}} est négative

Ordonnée à abscisse nulle

Soit le point de coordonnées (x₀=0, y₀) situé sur la droite.
On cherche la valeur de l’ordonnée y₀ lorsque l’abscisse x₀ est située sur l’origine x₀=0.
Ce point étant sur la droite, il vérifie l’équation avec x₀=0
Sous la forme réduite             : y₀ = a’ x₀ + b’          –>  y₀  = b’
Sous la forme cartésienne     : ay₀ + bx₀ + c = 0      –> y₀ = – (c/a)  

Dans l’expression de l’équation réduite de la droite :
\textcolor{red}{y=a'x+b'}
\textcolor{red}{a'} est la pente ou coefficient directeur de la droite
\textcolor{red}{b'} est l’ordonnée à abscisse nulle

Application numérique

Dans le plan cartésien, on se donne :
La droite \textcolor{red}{\mathcal {D1}} passant par les points 1 et 2
La droite \textcolor{red}{\mathcal {D2}} passant par les points 3 et 4  
Nous allons déterminer l’équation réduite de chacune de ces 2 droites.

Droite D1

Calcul de la pente

Soient deux points sur la droite \textcolor{red}{\mathcal {D1}}  

• Point 1 de coordonnées (x1, y1) = (2, -4)
• Point 2 de coordonnées (x2, y2) = (4, -1)

On cherche l’équation réduite de la droite \textcolor{red}{\mathcal {D1}}, cette équation est de la forme y=ax+b
Il faut déterminer les constantes a \:et\: b connaissant les points 1 et 2.
Les points 1 et 2 sont situés sur la droite, ils vérifient l’équation :
y1=ax1+b
y2=ax2+b
On peut écrire : (y2-y1)=(ax2+b)-(ax1+b)=ax2-ax1 = a(x2-x1)
On obtient : (y2-y1)= a(x2-x1)

On retrouve la définition de la pente
\displaystyle a=\frac{(y2-y1)}{(x2-x1)} = \frac{(y1-y2)}{(x1-x2)}
Application numérique
\displaystyle a=\frac{(-1-(-4))}{(4-2)} = +\frac{3}{2}

La pente de la droite \textcolor{red}{\mathcal {D1}} est positive : \displaystyle\textcolor{red}{ a= +\frac{3}{2} }

Calcul de l’ordonnée à abscisse nulle

b=y1-ax1=y2-ax2
en remplaçant a par sa valeur, on obtient :
\displaystyle b= -4-\frac{3}{2}\:2=-7

La droite \textcolor{red}{\mathcal {D1}} coupe l’ordonnée au point (x_0=0, y_0)\: soit \textcolor{red}{b=-7}

Equation de la droite

La droite \textcolor{red}{\mathcal {D1}} a pour équation : \displaystyle\textcolor{red}{ a= \frac{3}{2}x-7}

Vérification sur le diagramme

• Pour x augmente de 2 unités, y augmente de 3 unités soit \displaystyle a=\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{3}{2}
• L’ordonnée y_0 à abscisse nulle x_0 a pour valeur b=-7

Droite D2

Calcul de la pente

Soient deux points sur la droite \textcolor{red}{\mathcal {D2}}  

• Point 3 de coordonnées (x3, y3) = (-4, -1)
• Point 4 de coordonnées (x4, y4) = (-2, -4)

On cherche l’équation réduite de la droite \textcolor{red}{\mathcal {D2}}, cette équation est de la forme y=ax+b
Come pour la droite \mathcal {D1}, on en déduit
\displaystyle a=\frac{(y4-y3)}{(x4-x3)} = \frac{(y3-y4)}{(x3-x4)}
Application numérique
\displaystyle a=\frac{(-4-(-1))}{(-2-(-4)} = \frac{-3}{2}

La pente de la droite \textcolor{red}{\mathcal {D2}} est négative: \displaystyle\textcolor{red}{ a= -\frac{3}{2} }

Calcul de l’ordonnée à abscisse nulle

b=y3-ax3=y4-ax4
en remplaçant a par sa valeur, on obtient :
\displaystyle b= -4-(-\frac{3}{2})\:(-2)=-7

La droite \textcolor{red}{\mathcal {D2}} coupe l’ordonnée au point (x_0=0, y_0)\: soit \textcolor{red}{b=-7}

Equation de la droite

La droite \textcolor{red}{\mathcal {D2}} a pour équation : \displaystyle\textcolor{red}{ a=- \frac{3}{2}x-7}

Vérification sur le diagramme

• Pour x augmente de 2 unités, y diminue de 3 unités soit \displaystyle a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=- \frac{3}{2}
• L’ordonnée y_0 à abscisse nulle x_0 a pour valeur b=-7

Droites parallèles

Pour que 2 droites soient parallèles, il faut et il suffit qu’elles aient la même pente.
Soient les droites :
\textcolor{red}{\mathcal {D1}} d’équation y = a_1x+b_1
\textcolor{red}{\mathcal {D2}} d’équation y = a_2x+b_2

Pour que \textcolor{red}{\mathcal {D2}} soit parallèle à \textcolor{red}{\mathcal {D1}} il faut que a_2 = a_1
Si de plus b_2 = b_1 les deux droites sont confondues

Droites perpendiculaires

Pour que 2 droites soient perpendiculaires, il faut et il suffit que le produit de leur coefficient directeur soit égal à -1.
Soient les droites :
\textcolor{red}{\mathcal {D1}} d’équation y = a_1x+b_1
\textcolor{red}{\mathcal {D2}} d’équation y = a_2x+b_2

Pour que \textcolor{red}{\mathcal {D2}} soit perpendiculaire à \textcolor{red}{\mathcal {D1}} il faut que \displaystyle a_2 =-\frac{1}{a_1}
Ce qui peut encore s’écrire a_1\: . \:a_2 =-1

Point d’intersection de deux droites

Soient les droites :
\textcolor{red}{\mathcal {D1}} d’équation y = ax+b
\textcolor{red}{\mathcal {D2}} d’équation y = cx+d
Avec a \ne c

Pour qu’un point I de coordonnées (x_I, y_I) soit à l’intersection des deux droites, il faut qu’il appartienne aux deux droites, il vérifie donc les équations :
eq_1: y_I=ax_I+b
eq_2: y_I=cx_I+d
On recherche les coordonnées (x_I, y_I)

Plusieurs méthodes sont possibles pour déterminer (x_I, y_I)

• Par égalité : au point I d’intersection, les 2 équations sont égales, elles ont la même valeur y_I . Pour déterminer x_I , on peut écrire eq_1 = eq_2:
  • ax_I +b = cx_I+d= y_I
  • ax_I - cx_I = -b+d
  • x_I (a-c) = -b+d
  • \displaystyle d'où : x_I=\frac{-b+d}{a-c}
• Par soustraction: On peut soustraire les 2 équations (eq_1 - eq_2) pour éliminer y_I et déterminer x_I . On peut écrire eq_1 - eq_2:
  • y_I -y_I = (ax_I+b)-(cx_I+d)
  • 0 = ax_I +b -cx_I -d
  • 0 = ax_I - cx_I +b -d
  • 0 = x_I(a-c) +b -d
  • -b+d= x_I(a-c)
  • \displaystyle d'où : x_I=\frac{-b+d}{a-c}

Cas concret

• Soient les droites f et g suivantes
  • f: \: y_I =-2x_I+7\; dans f: a=-2 \;et\; b=7
  • g: \: y_I =4x_I-11\; dans g: c=4\;et\; d=-11
• On utilise la méthode par égalité
  • -2x_I+7 = 4x_I-11
  • 7 + 11 = 4x_I+ 2x_I
  • 6x_I = 18
  • d’où: \textcolor{red}{ x_I=3}
• On remplace par la valeur dans g
  • y_I = 4 \times 3-11
  • d’où: \textcolor{red}{ y_I = 1}

Equation d’une droite passant par deux points

Soit le point A de coordonnées (x_A,y_A) et le point B de coordonnées (x_B,y_B)
On recherche l’équation de la droite passant par ces deux points. Il faut déterminer le coefficient directeur a  et l’ordonnée à abscisse nulle b 
Les point étant situés sur la même droite, ils vérifient l’équation: 
y_A = ax_A+b
y_B = ax_B+b
On peut soustraire les 2 équations pour trouver \displaystyle a =\frac{(y_B-y_A)}{(x_B-x_A)} ce qui est la définition de la pente. 
On remplace a par sa valeur dans l’une des équations pour trouver b

Equation d’une droite définie par un point et par son coefficient directeur

Soit une droite \textcolor{red}{\mathcal {D1}} d’équation y = a_1x+b_1   
La valeur du coefficient directeur a_1 de la droite est connue
Soit un point A  de coordonnées (x_A,y_A)  appartenant à cette droite
Ce point vérifie l’équation y_A = a_1x_A+b_1   
Il suffit de trouver le paramètre b_1   pour déterminer l’équation de cette droite:
b_1 = y_A-a_1x_A

Application de synthèse des connaissances

Calcul de l’équation de la droite \textcolor{red}{\mathcal {D2}}  passant par les points A \:et\:B

On donne les points A \:et\:B avec leurs coordonnées (x,y)
A(-2,-7)\:et\:B(2,-1)

Calcul de la pente \textbf{a}

Les 2 points permettent de calculer la pente \textbf{a} de la droite \textcolor{red}{\mathcal{D2}}
\displaystyle a =\frac{(y_b-y_a)}{(x_b-x_a)}= \frac{(-1)-(-7)}{(2)-(-2)} = \frac{-1+7}{2+2}= \frac{6}{4} \quad\displaystyle\textcolor{red}{a=+\frac{3}{2}}

Calcul de l’ordonnée à abscisse nulle \textbf{b}

On peut utiliser les coordonnées de l’un des points qui est situé sur la droite dont on connait le coefficient directeur (la pente) \textbf{a}
Pour le point B : y_b=ax_b+b d’où b=y_b-ax_b

\displaystyle b =-1-\frac{3}{2}\times{2} = -1-3 d’où \quad\displaystyle\textcolor{red}{b=-4}

La droite \textcolor{red}{\mathcal {D2}} a pour équation \displaystyle \textcolor{red}{ y =\frac{3}{2}\times{x}-4 }

Calcul de l’équation de la droite \textcolor{red}{\mathcal {D3}} parallèle à la droite \textcolor{red}{\mathcal {D2}}  et passant par l’origine

La droite \textcolor{red}{\mathcal {D3}}  est parallèle à \textcolor{red}{\mathcal {D2}} elle a donc la même pente

La droite \textcolor{red}{\mathcal {D3}}  passe par le point origine du repère de coordonnées (x_0=0,y_0=0)
donc sont ordonnée à abscisse nulle \textbf{b} vaut 0.

La droite \textcolor{red}{\mathcal {D3}} a pour équation \displaystyle \textcolor{red}{ y =\frac{3}{2}\times{x}}

Calcul de l’équation de la droite \textcolor{red}{\mathcal {D1}}  parallèle à la droite  \textcolor{red}{\mathcal {D2}} et passant par le point C de coordonnées  (x_C=0,y_C=-7).

La droite \textcolor{red}{\mathcal {D1}}  est parallèle à \textcolor{red}{\mathcal {D2}} elle a donc la même pente

La droite \textcolor{red}{\mathcal {D1}}  passe par le point C de coordonnées (x_C=0,y_C=-7)
donc sont ordonnée à abscisse nulle \textbf{b} vaut -7.

La droite \textcolor{red}{\mathcal {D1}} a pour équation \displaystyle \textcolor{red}{ y =\frac{3}{2}\times{x}-7}

Calcul de l’équation de la droite \textcolor{red}{\mathcal {D4}}  perpendiculaire à la droite  \textcolor{red}{\mathcal {D1}} et passant par le point C de coordonnées  (x_C=0,y_C=-7).

La droite \textcolor{red}{\mathcal {D4}}  est perpendiculaire à \textcolor{red}{\mathcal {D1}} le produit de leur coefficient directeur (pente) vaut -1
Autrement dit si a_1 est le coef. directeur de la droite \textcolor{red}{\mathcal {D1}} et a_4 le coef. directeur de la droite \textcolor{red}{\mathcal {D4}}
on doit vérifier a_1\times{a_4}=-1 soit \displaystyle a_4=-\frac{1}{a_1}

La pente a_4 de la droite \textcolor{red}{\mathcal {D4}} vaut donc \displaystyle -\frac{1}{\frac{3}{2}} =-\frac{2}{3}
L’ordonnée à abscisse nulle \textbf{b} de cette droite vaut -7.

La droite \textcolor{red}{\mathcal {D4}} a pour équation \displaystyle \textcolor{red}{ y =-\frac{2}{3}\times{x}-7}

Application « pratique » graphique de circulation des trains

Contexte

Le petit fils de cœur d’Albert Einstein, travaille au bureau de vérification des horaires à Berne où il est en charge de la circulation des trains sur la ligne Berne – Bâle – Zurich  du réseau des chemins de fer suisses (SBB – CFF – FFS). 
Il doit établir le plan de circulation des trains en tenant compte des heures de départ, d’arrivée et de la vitesse des convois. 
Pour cela il a mis au point un graphique de circulation sous forme d’un document espace-temps qui traduit la circulation des trains sur la ligne dont il a la responsabilité. 
Avec cet outil, il lui est possible de mettre en équation pour chaque train le déplacement en fonction du temps du convoi. 

Ce document se présente sous la forme suivante :
Le temps figure en abscisse, il est gradué en minutes
L’espace figure en ordonnée, il est gradué en kilomètres

Exemple de circulation des trains

Afin de vérifier l’intérêt et les possibilités d’un tel graphique, nous prenons un exemple avec deux convois circulant en sens opposés à des horaires voisins.

Train n°1 marchandises SB 2011
Circulant sur la voie Berne à Zurich
Départ Berne    10:00
Arrivée Zurich  12:20
Durée 2:20  (140 mn)

Train n°2 voyageurs CF 4216
Circulant sur la voie Zurich à Berne
Départ Zurich  10:30
Arrivée Berne  12:12
Durée 1:42  (102 mn)

Identification du système d’axes

Afin de pouvoir calculer les équations des parcours, il faut définir un repère avec une origine et les unités sur les axes (abscisses et ordonnées).

On fixe comme origine du repère les valeurs suivantes :
Abscisse origine 0mn  à  10:00,  unité 1 mn 
Ordonnée origine 0km  à Berne unité 1 km

Dans ce système d’axes les points départ et arrivée des trains sont :

Equation de circulation des trains

Mise en équation des parcours sous la forme y=ax+b
Système d’axes pour le problème : y est la distance d en km et x le temps en mn

Pour un train donné, on connait la ville de départ et la ville d’arrivée ainsi que l’heure de départ et l’heure d’arrivée
Dans le système d’axes, la pente a est donc la vitesse moyenne sur le parcours.
Vitesse moyenne = nombre de km parcourus en un temps donné
\displaystyle V= \frac{\Delta d}{ \Delta t }
On pose d_0 l’ordonnée à abscisse nulle donc la distance au temps = 0 sur le repère.
Alors :
Connaissant un temps t de passage, on peut calculer la distance d parcourue
d=V\times{t}+d_0
Connaissant une distance d parcourue, on peut calculer le temps t de passage
\displaystyle t= \frac{(d-d_0)}{V}

Application aux 2 convois

Calcul de la vitesse moyenne des convois
\displaystyle V=\frac{\Delta d}{ \Delta t }

Train n°1
d_{12 –} d₁₁ / t_{12 –} t₁₁  = 200 / 140  => V = 1,43 km/mn 
Soit en km/h : 1,43 x 60 = 85,7 km/h

Train n°2
d_{22 –} d₂₁ / t_{22 –} t₂₁  = 200 / (30-132)  => V = -1,96 km/mn
Soit en km/h : 1,96 x 60 = -117,6 km/h

Remarque : dans le repère choisi la pente du parcours du Train n°2 est négative, comme la pente représente la vitesse celle-ci est calculée négative par rapport au système d’axes.

Calcul de l’ordonnée à abscisse nulle 

d0 = d – Vt

Pour le train n°1 on utilise le point de départ qui est à l’origine du repère => d0 = 0. km
Pour le train n°2 on utilise le point d’arrivée d0 = 0. – (-1,96 x 132)           => d0 =258.7 km

Equations des 2 convois

Train n°1 :      d_train1 =   1,43 . t_train1
Train n°2 :      d_train2 = -1,96 . t_train2  + 258,7

Note
Avec ces équations, il est possible de calculer de nombreux paramètres de la circulation des convois et ainsi de prédire des valeurs qui pourront être confrontées à la réalité des mesures réalisées de manière manuelle par les chefs de gare ou automatiques si les lignes sont équipées de détecteurs d’identification et d’horaire de passage des trains aux points considérés.

Cette comparaison « calculs / mesures » est indispensable à la sécurité de circulation.

Calcul point de croisement des 2 convois

On utilise la méthode par égalité des 2 équations
On pose          1,43 t = -1,96t + 258,7
D’où               t (1,43 + 1,96) = 258,7
Soit                 t = 258,7 / 3,39

On obtient « t » du croisement = 76 mn de l’origine du repère soit 11:16
En remplaçant t « croisement » par sa valeur dans l’équation du train n°1, on obtient « d » du croisement
d « croisement » = 1,43 x 76 = 108.7 km (de l’origine du repère).

Le croisement s’effectue à proximité de la gare de Bâle (qui est située à 105 km).
Ce croisement a lieu à 11:16

Horaire de passage aux gares intermédiaires

Avec les équations des 2 trains, on peut calculer l’heure de passage dans les gares intermédiaires de chacun des convois.
Kirchberg est à 20 km de Berne ; Egerkingen est à 60 km de Berne ;
Bâle est à 105 km de Berne ; Stein est à 145 km de Berne ; Baden est à 180 km Berne

Exemple passage à Egerkingen 

Train n°1:
L’équation d_train1 =  1,43 . t _train1  permet d’écrire
60 = 1,43 . t  d’où  t = 60/1,43 = 42 mn
Soit à 42 mn de l’origine du repère

Train n°2:
L’équation d_train2 =  -1,96 t _train2 + 258,7 permet d’écrire
60 = -1,96 t  + 258,7  d’où  t = (258,7 – 60)/1,96 = 101 mn
Soit à 1h 41 mn de l’origine du repère

Le train n°1 doit passer à Egerkingen à 10:42
Le train n°2 doit passer à Egerkingen à 11:41