Table des matières
René Descartes (1596-1650) philosophe et mathématicien
Discours de la méthode (1637)
Le Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciences
parut en 1637, en français. Il était accompagné de trois traités (La Dioptrique, Les Météores et La Géométrie).
Descartes avait renoncé à publier son Traité du Monde, dans lequel il admettait la rotation terrestre, après la condamnation de Galilée (1633)
Principales règles de La Méthode
« Je crus que j’aurais assez des quatre (préceptes) suivants, pourvu que je prisse une ferme et constante résolution de ne manquer pas une seule fois à les observer.
Le premier était de ne recevoir jamais aucune chose pour vraie que je ne la connusse évidemment être telle ; c’est-à-dire, d’éviter soigneusement la précipitation et la prévention, et de ne comprendre rien de plus en mes jugements que ce qui se présenterait si clairement et si distinctement à mon esprit, que je n’eusse aucune occasion de le mettre en doute.
Le second, de diviser chacune des difficultés que j’examinerais, en autant de parcelles qu’il se pourrait, et qu’il serait requis pour les mieux résoudre.
Le troisième, de conduire par ordre mes pensées, en commençant par les objets les plus simples et les plus aisés à connaître, pour monter peu à peu comme par degrés jusqu’à la connaissance des plus composés, et supposant même de l’ordre entre ceux qui ne se précèdent point naturellement les uns les autres.
Et le dernier, de faire partout des dénombrements si entiers et des revues si générales, que je fusse assuré de ne rien omettre. »
« Gogito Ergo Sum »
Descartes cherche un fondement sûr pour bâtir la connaissance, un point fixe à partir duquel fonder le savoir et accéder aux vérités. Pour cela, il propose deux méthodes pour y parvenir :
La méthode du doute
Descartes décide de volontairement mettre en doute toutes ses connaissances et opinions. Que reste-t-il de cette mise hors circuit du monde et de ses objets ? Que c’est lui, sujet, qui doute. Or, pour douter, il faut penser. « Donc, si je doute, je pense, et si je pense, je suis ».
Le doute, qui au départ mettait tout en question, se renverse et devient source de certitude. La dialectique de Descartes crée le « Cogito »
La méthode du « malin génie »
Descartes fait l’hypothèse qu’une force obscure le trompe, en lui faisant passer pour vraies des représentations fausses.
Mais là aussi, si on peut me tromper, si mes sens peuvent être source d’illusions, il reste que j’ai le pouvoir de suspendre mon jugement.
Et là aussi, cette suspension est une action de la pensée qui vient prouver mon existence irréfutable.
Naissance du cogito
Dans les deux méthodes, actives ou passives, la certitude du « cogito » est acquise.
Le Sujet, sûr de son existence, peut agir en tant que terre natale de la Vérité. Cette assertion, aujourd’hui considérée comme allant de soi, a révolutionné la philosophie et agi comme la prémisse de la philosophie moderne, comprise comme la mise au centre du Sujet.
Kant, Spinoza, ou encore Sartre et Husserl, ne remettront jamais en question cet “acquis philosophique”, ce « cogito ergo sum ».
Equations cartésiennes
On doit à Descartes la méthode qui consiste à remplacer un problème de géométrie par un problème numérique à l’aide d’équations. Ces équations sont dites « équations cartésiennes ».
Equation « cartésienne » d’une droite
Une équation cartésienne permet de décrire toutes les droites du plan.
Elle est toujours de la forme suivante:
\textcolor{red}{\mathcal {D}:} \textcolor{black}{ \mathbf{ay + bx +c = 0}}
{ a, b, c } sont des constantes réelles.
{ a, b } ne peuvent pas être nulles en même temps (on obtiendrait c = 0 ).
Equation « réduite » d’une droite cartésienne
La forme dite « réduite » se déduit de la forme « cartésienne »
On écrit l’équation : \mathbf{ay + bx +c = 0}
Sous la forme : \mathbf{ay = - bx - c }
d’où : \displaystyle\mathbf{ y= - \frac{b}{a}x - \frac{c}{a} }
\textcolor{red}{\mathcal {D}:} \textcolor{black}{ \mathbf{y = a'x + b'}}
\displaystyle a\neq{0} \: ; \: a'=-\frac{b}{a}\: ; \: b'=-\frac{c}{a}
Ensemble des droites
L’équation « cartésienne » \textcolor{red}{\mathcal {D}:} \textcolor{black}{ \mathbf{ay + bx +c = 0}} permet de décrire l’ensemble des droites :

Exemple
\textcolor{red}{\mathcal {D}:} \textcolor{black}{ \mathbf{2y -3x +14 = 0 \qquad \{a=2, b=-3, c=14\} } }

Composantes de l’équation cartésienne d’une droite
Les constantes { a, b, c } pour la forme cartésienne ou { a’, b’ } pour la forme réduite, sont les valeurs nécessaires et suffisantes pour déterminer la position d’une droite dans le plan cartésien.
Nous allons étudier les notions de pente d’une droite, de droites parallèles et de droites perpendiculaire et déterminer la valeur des constantes dans ces différents cas.
Pente d’une droite
Graphiquement une droite est une fonction dont l’inclinaison est constante en tout point.
La pente mesure l’inclinaison de la droite.
Elle caractérise la variation de la valeur y quand x augmente.
La pente est positive lorsque y augmente quand x augmente.
La pente est négative lorsque y diminue quand x augmente.
Le point 1 de coordonnées \displaystyle (x_1,y_1) et le point 2 de coordonnées \displaystyle (x_2,y_2) sont situés sur la droite \textcolor{red}{\mathcal {D1}}
La pente de la droite \textcolor{red}{\mathcal {D1}} est définie par le rapport \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}
La pente de la doite \textcolor{red}{\mathcal {D1}} est positive
Le point 3 de coordonnées \displaystyle (x_3,y_3) et le point 4 de coordonnées \displaystyle (x_4,y_4) sont situés sur la droite \textcolor{red}{\mathcal {D2}}
La pente de la droite \textcolor{red}{\mathcal {D2}} est définie par le rapport \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_4-y_3}{x_4-x_3} = \frac{y_3-y_4}{x_3-x_4}
La pente de la doite \textcolor{red}{\mathcal {D2}} est négative

Ordonnée à abscisse nulle
Soit le point de coordonnées (x0=0, y0) situé sur la droite.
On cherche la valeur de l’ordonnée y0 lorsque l’abscisse x0 est située sur l’origine x0=0.
Ce point étant sur la droite, il vérifie l’équation avec x0=0
Sous la forme réduite : y0 = a’ x0 + b’ –> y0 = b’
Sous la forme cartésienne : ay0 + bx0 + c = 0 –> y0 = – (c/a)

Dans l’expression de l’équation réduite de la droite :
\textcolor{red}{y=a'x+b'}
\textcolor{red}{a'} est la pente ou coefficient directeur de la droite
\textcolor{red}{b'} est l’ordonnée à abscisse nulle
Application numérique
Dans le plan cartésien, on se donne :
La droite \textcolor{red}{\mathcal {D1}} passant par les points 1 et 2
La droite \textcolor{red}{\mathcal {D2}} passant par les points 3 et 4
Nous allons déterminer l’équation réduite de chacune de ces 2 droites.

Droite D1
Calcul de la pente
Soient deux points sur la droite \textcolor{red}{\mathcal {D1}}
- Point 1 de coordonnées (x1, y1) = (2, -4)
- Point 2 de coordonnées (x2, y2) = (4, -1)
On cherche l’équation réduite de la droite \textcolor{red}{\mathcal {D1}}, cette équation est de la forme y=ax+b
Il faut déterminer les constantes a \:et\: b connaissant les points 1 et 2.
Les points 1 et 2 sont situés sur la droite, ils vérifient l’équation :
y1=ax1+b
y2=ax2+b
On peut écrire : (y2-y1)=(ax2+b)-(ax1+b)=ax2-ax1 = a(x2-x1)
On obtient : (y2-y1)= a(x2-x1)
On retrouve la définition de la pente
\displaystyle a=\frac{(y2-y1)}{(x2-x1)} = \frac{(y1-y2)}{(x1-x2)}
Application numérique
\displaystyle a=\frac{(-1-(-4))}{(4-2)} = +\frac{3}{2}
La pente de la droite \textcolor{red}{\mathcal {D1}} est positive : \displaystyle\textcolor{red}{ a= +\frac{3}{2} }
Calcul de l’ordonnée à abscisse nulle
b=y1-ax1=y2-ax2
en remplaçant a par sa valeur, on obtient :
\displaystyle b= -4-\frac{3}{2}\:2=-7
La droite \textcolor{red}{\mathcal {D1}} coupe l’ordonnée au point (x_0=0, y_0)\: soit \textcolor{red}{b=-7}
Equation de la droite
La droite \textcolor{red}{\mathcal {D1}} a pour équation : \displaystyle\textcolor{red}{ a= \frac{3}{2}x-7}
Vérification sur le diagramme
- Pour x augmente de 2 unités, y augmente de 3 unités soit \displaystyle a=\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{3}{2}
- L’ordonnée y_0 à abscisse nulle x_0 a pour valeur b=-7
Droite D2
Calcul de la pente
Soient deux points sur la droite \textcolor{red}{\mathcal {D2}}
- Point 3 de coordonnées (x3, y3) = (-4, -1)
- Point 4 de coordonnées (x4, y4) = (-2, -4)
On cherche l’équation réduite de la droite \textcolor{red}{\mathcal {D2}}, cette équation est de la forme y=ax+b
Come pour la droite \mathcal {D1}, on en déduit
\displaystyle a=\frac{(y4-y3)}{(x4-x3)} = \frac{(y3-y4)}{(x3-x4)}
Application numérique
\displaystyle a=\frac{(-4-(-1))}{(-2-(-4)} = \frac{-3}{2}
La pente de la droite \textcolor{red}{\mathcal {D2}} est négative: \displaystyle\textcolor{red}{ a= -\frac{3}{2} }
Calcul de l’ordonnée à abscisse nulle
b=y3-ax3=y4-ax4
en remplaçant a par sa valeur, on obtient :
\displaystyle b= -4-(-\frac{3}{2})\:(-2)=-7
La droite \textcolor{red}{\mathcal {D2}} coupe l’ordonnée au point (x_0=0, y_0)\: soit \textcolor{red}{b=-7}
Equation de la droite
La droite \textcolor{red}{\mathcal {D2}} a pour équation : \displaystyle\textcolor{red}{ a=- \frac{3}{2}x-7}
Vérification sur le diagramme
- Pour x augmente de 2 unités, y diminue de 3 unités soit \displaystyle a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=- \frac{3}{2}
- L’ordonnée y_0 à abscisse nulle x_0 a pour valeur b=-7
Droites parallèles
Pour que 2 droites soient parallèles, il faut et il suffit qu’elles aient la même pente.
Soient les droites :
\textcolor{red}{\mathcal {D1}} d’équation y = a_1x+b_1
\textcolor{red}{\mathcal {D2}} d’équation y = a_2x+b_2
Pour que \textcolor{red}{\mathcal {D2}} soit parallèle à \textcolor{red}{\mathcal {D1}} il faut que a_2 = a_1
Si de plus b_2 = b_1 les deux droites sont confondues
Droites perpendiculaires
Pour que 2 droites soient perpendiculaires, il faut et il suffit que le produit de leur coefficient directeur soit égal à -1.
Soient les droites :
\textcolor{red}{\mathcal {D1}} d’équation y = a_1x+b_1
\textcolor{red}{\mathcal {D2}} d’équation y = a_2x+b_2
Pour que \textcolor{red}{\mathcal {D2}} soit perpendiculaire à \textcolor{red}{\mathcal {D1}} il faut que \displaystyle a_2 =-\frac{1}{a_1}
Ce qui peut encore s’écrire a_1\: . \:a_2 =-1
Point d’intersection de deux droites
Soient les droites :
\textcolor{red}{\mathcal {D1}} d’équation y = ax+b
\textcolor{red}{\mathcal {D2}} d’équation y = cx+d
Avec a \ne c
Pour qu’un point I de coordonnées (x_I, y_I) soit à l’intersection des deux droites, il faut qu’il appartienne aux deux droites, il vérifie donc les équations :
eq_1: y_I=ax_I+b
eq_2: y_I=cx_I+d
On recherche les coordonnées (x_I, y_I)
Plusieurs méthodes sont possibles pour déterminer (x_I, y_I)
- Par égalité : au point I d’intersection, les 2 équations sont égales, elles ont la même valeur y_I . Pour déterminer x_I , on peut écrire eq_1 = eq_2:
- ax_I +b = cx_I+d= y_I
- ax_I - cx_I = -b+d
- x_I (a-c) = -b+d
- \displaystyle d'où : x_I=\frac{-b+d}{a-c}
- Par soustraction: On peut soustraire les 2 équations (eq_1 - eq_2) pour éliminer y_I et déterminer x_I . On peut écrire eq_1 - eq_2:
- y_I -y_I = (ax_I+b)-(cx_I+d)
- 0 = ax_I +b -cx_I -d
- 0 = ax_I - cx_I +b -d
- 0 = x_I(a-c) +b -d
- -b+d= x_I(a-c)
- \displaystyle d'où : x_I=\frac{-b+d}{a-c}
Cas concret
- Soient les droites f et g suivantes
- f: \: y_I =-2x_I+7\; dans f: a=-2 \;et\; b=7
- g: \: y_I =4x_I-11\; dans g: c=4\;et\; d=-11
- On utilise la méthode par égalité
- -2x_I+7 = 4x_I-11
- 7 + 11 = 4x_I+ 2x_I
- 6x_I = 18
- d’où: \textcolor{red}{ x_I=3}
- On remplace par la valeur dans g
- y_I = 4 \times 3-11
- d’où: \textcolor{red}{ y_I = 1}

Equation d’une droite passant par deux points
Soit le point A de coordonnées (x_A,y_A) et le point B de coordonnées (x_B,y_B)
On recherche l’équation de la droite passant par ces deux points. Il faut déterminer le coefficient directeur a et l’ordonnée à abscisse nulle b
Les point étant situés sur la même droite, ils vérifient l’équation:
y_A = ax_A+b
y_B = ax_B+b
On peut soustraire les 2 équations pour trouver \displaystyle a =\frac{(y_B-y_A)}{(x_B-x_A)} ce qui est la définition de la pente.
On remplace a par sa valeur dans l’une des équations pour trouver b
Equation d’une droite définie par un point et par son coefficient directeur
Soit une droite \textcolor{red}{\mathcal {D1}} d’équation y = a_1x+b_1
La valeur du coefficient directeur a_1 de la droite est connue
Soit un point A de coordonnées (x_A,y_A) appartenant à cette droite
Ce point vérifie l’équation y_A = a_1x_A+b_1
Il suffit de trouver le paramètre b_1 pour déterminer l’équation de cette droite:
b_1 = y_A-a_1x_A
Application de synthèse des connaissances

Calcul de l’équation de la droite \textcolor{red}{\mathcal {D2}} passant par les points A \:et\:B
On donne les points A \:et\:B avec leurs coordonnées (x,y)
A(-2,-7)\:et\:B(2,-1)
Calcul de la pente \textbf{a}
Les 2 points permettent de calculer la pente \textbf{a} de la droite \textcolor{red}{\mathcal{D2}}
\displaystyle a =\frac{(y_b-y_a)}{(x_b-x_a)}= \frac{(-1)-(-7)}{(2)-(-2)} = \frac{-1+7}{2+2}= \frac{6}{4} \quad\displaystyle\textcolor{red}{a=+\frac{3}{2}}
Calcul de l’ordonnée à abscisse nulle \textbf{b}
On peut utiliser les coordonnées de l’un des points qui est situé sur la droite dont on connait le coefficient directeur (la pente) \textbf{a}
Pour le point B : y_b=ax_b+b d’où b=y_b-ax_b
\displaystyle b =-1-\frac{3}{2}\times{2} = -1-3 d’où \quad\displaystyle\textcolor{red}{b=-4}
La droite \textcolor{red}{\mathcal {D2}} a pour équation \displaystyle \textcolor{red}{ y =\frac{3}{2}\times{x}-4 }
Calcul de l’équation de la droite \textcolor{red}{\mathcal {D3}} parallèle à la droite \textcolor{red}{\mathcal {D2}} et passant par l’origine
La droite \textcolor{red}{\mathcal {D3}} est parallèle à \textcolor{red}{\mathcal {D2}} elle a donc la même pente
La droite \textcolor{red}{\mathcal {D3}} passe par le point origine du repère de coordonnées (x_0=0,y_0=0)
donc sont ordonnée à abscisse nulle \textbf{b} vaut 0.
La droite \textcolor{red}{\mathcal {D3}} a pour équation \displaystyle \textcolor{red}{ y =\frac{3}{2}\times{x}}
Calcul de l’équation de la droite \textcolor{red}{\mathcal {D1}} parallèle à la droite \textcolor{red}{\mathcal {D2}} et passant par le point C de coordonnées (x_C=0,y_C=-7).
La droite \textcolor{red}{\mathcal {D1}} est parallèle à \textcolor{red}{\mathcal {D2}} elle a donc la même pente
La droite \textcolor{red}{\mathcal {D1}} passe par le point C de coordonnées (x_C=0,y_C=-7)
donc sont ordonnée à abscisse nulle \textbf{b} vaut -7.
La droite \textcolor{red}{\mathcal {D1}} a pour équation \displaystyle \textcolor{red}{ y =\frac{3}{2}\times{x}-7}
Calcul de l’équation de la droite \textcolor{red}{\mathcal {D4}} perpendiculaire à la droite \textcolor{red}{\mathcal {D1}} et passant par le point C de coordonnées (x_C=0,y_C=-7).
La droite \textcolor{red}{\mathcal {D4}} est perpendiculaire à \textcolor{red}{\mathcal {D1}} le produit de leur coefficient directeur (pente) vaut -1
Autrement dit si a_1 est le coef. directeur de la droite \textcolor{red}{\mathcal {D1}} et a_4 le coef. directeur de la droite \textcolor{red}{\mathcal {D4}}
on doit vérifier a_1\times{a_4}=-1 soit \displaystyle a_4=-\frac{1}{a_1}
La pente a_4 de la droite \textcolor{red}{\mathcal {D4}} vaut donc \displaystyle -\frac{1}{\frac{3}{2}} =-\frac{2}{3}
L’ordonnée à abscisse nulle \textbf{b} de cette droite vaut -7.
La droite \textcolor{red}{\mathcal {D4}} a pour équation \displaystyle \textcolor{red}{ y =-\frac{2}{3}\times{x}-7}
Application « pratique » graphique de circulation des trains
Contexte
Le petit fils de cœur d’Albert Einstein, travaille au bureau de vérification des horaires à Berne où il est en charge de la circulation des trains sur la ligne Berne – Bâle – Zurich du réseau des chemins de fer suisses (SBB – CFF – FFS).
Il doit établir le plan de circulation des trains en tenant compte des heures de départ, d’arrivée et de la vitesse des convois.
Pour cela il a mis au point un graphique de circulation sous forme d’un document espace-temps qui traduit la circulation des trains sur la ligne dont il a la responsabilité.
Avec cet outil, il lui est possible de mettre en équation pour chaque train le déplacement en fonction du temps du convoi.
Ce document se présente sous la forme suivante :
Le temps figure en abscisse, il est gradué en minutes
L’espace figure en ordonnée, il est gradué en kilomètres

Exemple de circulation des trains
Afin de vérifier l’intérêt et les possibilités d’un tel graphique, nous prenons un exemple avec deux convois circulant en sens opposés à des horaires voisins.
Train n°1 marchandises SB 2011
Circulant sur la voie Berne à Zurich
Départ Berne 10:00
Arrivée Zurich 12:20
Durée 2:20 (140 mn)
Train n°2 voyageurs CF 4216
Circulant sur la voie Zurich à Berne
Départ Zurich 10:30
Arrivée Berne 12:12
Durée 1:42 (102 mn)
Identification du système d’axes
Afin de pouvoir calculer les équations des parcours, il faut définir un repère avec une origine et les unités sur les axes (abscisses et ordonnées).
On fixe comme origine du repère les valeurs suivantes :
Abscisse origine 0mn à 10:00, unité 1 mn
Ordonnée origine 0km à Berne unité 1 km
Dans ce système d’axes les points départ et arrivée des trains sont :
Train n°1 Départ : (t11 ,d11) Coord: (0 , 0)
Train n°1 Arrivée : (t12 ,d12) Coord : (140 , 200)
Train n°2 Départ : (t21 ,d21) Coord : (30 , 200)
Train n°2 Arrivée : (t22 ,d22) Coord : (132 , 0)

Equation de circulation des trains
Mise en équation des parcours sous la forme y=ax+b
Système d’axes pour le problème : y est la distance d en km et x le temps en mn
Pour un train donné, on connait la ville de départ et la ville d’arrivée ainsi que l’heure de départ et l’heure d’arrivée
Dans le système d’axes, la pente a est donc la vitesse moyenne sur le parcours.
Vitesse moyenne = nombre de km parcourus en un temps donné
\displaystyle V= \frac{\Delta d}{ \Delta t }
On pose d_0 l’ordonnée à abscisse nulle donc la distance au temps = 0 sur le repère.
Alors :
Connaissant un temps t de passage, on peut calculer la distance d parcourue
d=V\times{t}+d_0
Connaissant une distance d parcourue, on peut calculer le temps t de passage
\displaystyle t= \frac{(d-d_0)}{V}
Application aux 2 convois
Calcul de la vitesse moyenne des convois
\displaystyle V=\frac{\Delta d}{ \Delta t }
Train n°1
d12 – d11 / t12 – t11 = 200 / 140 => V = 1,43 km/mn
Soit en km/h : 1,43 x 60 = 85,7 km/h
Train n°2
d22 – d21 / t22 – t21 = 200 / (30-132) => V = -1,96 km/mn
Soit en km/h : 1,96 x 60 = -117,6 km/h
Remarque : dans le repère choisi la pente du parcours du Train n°2 est négative, comme la pente représente la vitesse celle-ci est calculée négative par rapport au système d’axes.
Calcul de l’ordonnée à abscisse nulle
d0 = d – Vt
Pour le train n°1 on utilise le point de départ qui est à l’origine du repère => d0 = 0. km
Pour le train n°2 on utilise le point d’arrivée d0 = 0. – (-1,96 x 132) => d0 =258.7 km
Equations des 2 convois
Train n°1 : dtrain1 = 1,43 . ttrain1
Train n°2 : dtrain2 = -1,96 . ttrain2 + 258,7
Note
Avec ces équations, il est possible de calculer de nombreux paramètres de la circulation des convois et ainsi de prédire des valeurs qui pourront être confrontées à la réalité des mesures réalisées de manière manuelle par les chefs de gare ou automatiques si les lignes sont équipées de détecteurs d’identification et d’horaire de passage des trains aux points considérés.
Cette comparaison « calculs / mesures » est indispensable à la sécurité de circulation.
Calcul point de croisement des 2 convois
On utilise la méthode par égalité des 2 équations
On pose 1,43 t = -1,96t + 258,7
D’où t (1,43 + 1,96) = 258,7
Soit t = 258,7 / 3,39
On obtient « t » du croisement = 76 mn de l’origine du repère soit 11:16
En remplaçant t « croisement » par sa valeur dans l’équation du train n°1, on obtient « d » du croisement
d « croisement » = 1,43 x 76 = 108.7 km (de l’origine du repère).
Le croisement s’effectue à proximité de la gare de Bâle (qui est située à 105 km).
Ce croisement a lieu à 11:16
Horaire de passage aux gares intermédiaires
Avec les équations des 2 trains, on peut calculer l’heure de passage dans les gares intermédiaires de chacun des convois.
Kirchberg est à 20 km de Berne ; Egerkingen est à 60 km de Berne ;
Bâle est à 105 km de Berne ; Stein est à 145 km de Berne ; Baden est à 180 km Berne
Exemple passage à Egerkingen
Train n°1:
L’équation dtrain1 = 1,43 . t train1 permet d’écrire
60 = 1,43 . t d’où t = 60/1,43 = 42 mn
Soit à 42 mn de l’origine du repère
Train n°2:
L’équation dtrain2 = -1,96 t train2 + 258,7 permet d’écrire
60 = -1,96 t + 258,7 d’où t = (258,7 – 60)/1,96 = 101 mn
Soit à 1h 41 mn de l’origine du repère
Le train n°1 doit passer à Egerkingen à 10:42
Le train n°2 doit passer à Egerkingen à 11:41